非線形写像の共通不動点近似とその最適化問題への応用
筆者は近年、非線形写像の不動点定理および不動点近似問題に注力してきた。その動機は最適化問題に由来する。社会における最適化問題の重要性は言うまでもない。家計にとって効用を最大化する消費配分の問題、企業にとっての利潤最大化問題、政府にとっての最適課税方式の決定問題、さらには戦地での最適な物資の輸送問題や戦力の配置問題など、最適化問題と無関係な社会問題を探す方が難しい。
ある種の最適化問題の解集合は、非拡大写像と呼ばれる非線形写像の不動点集合と一致することが知られている。この事実は、最適化理論が非線形解析学（特に不動点理論）に強く依拠することを示している。不動点理論の研究の深化が、最適化理論の発展を直接的に促すことになる。本研究では、非拡大写像を拡張した非線形写像に対して、その不動点の存在を示すとともに、不動点を近似する点列の新しい構成方法を開発した。
論文1は、以前の研究を分野外の人を対象にわかりやすく解説した論文である。論文2～4は、かなり一般性の高い非線形写像に対して新しい不動点近似法を提示した。特に論文2と3では、複数の可換とは限らない写像について、共通不動点を近似する方法を扱っており、また近似点列の簡明な構成方法を発見したもので、有力な査読制の国際ジャーナルに掲載された。ここまでが、今年度に正式に雑誌に掲載された成果であり、あとの論文は掲載が決定した段階である。 論文5は、これまで扱われていなかったクラスの非線形写像の不動点定理を証明した。非常に美しい条件により特徴付けられるクラスの写像を特殊ケースとして包摂しており、これも有力なジャーナルに掲載される運びとなった。論文6と7は、これまで筆者が扱っていなかったIshikawa近似と呼ばれる近似法の研究に挑戦したものである。特に論文6は、これまでの研究経験を生かし、論文2,4,などでも扱った平均化された点列を用いる方法の適用を試みたところ、望外に興味深い結果が得られた。論文6と7は、ともに査読制の国際ジャーナルへの掲載が決定している。
今年度発表できたまたは発表が確定した諸論文は、サバティカル期間中（2020年4月～2021年1月）に始めた研究が実を結んだものが多く、筆者の実力以上の豊作となった。サバティカル期間から引き続き、研究をご助成くださる陵水学術後援会に深く感謝いたします。
論文
- "Convergence Theorems to Common Fixed Points of Two Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces", Kyoto University RIMS Kokyuroku, No. 2190, 2021. (査読なし)
- "Mean convergence theorems for generic 2-generalized hybrid mapping in Hilbert spaces", Linear and Nonlinear Analysis, Vol. 7, No. 1, 115-140, 2021. (査読有)
- "Strong approximation using hybrid methods to find common fixed points of noncommutative nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol. 23, No. 1, 33-58, 2022. (査読有)
- "Mean convergence theorems using hybrid methods to find common fixed points for noncommutative nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Applied Mathematics and Computing, Vol. 68, Issue 1, 217-248, 2022. (査読有)
- "Fixed point theorem for generic 2-generalized hybrid mappings in Hilbert spaces", Topological Methods in Nonlinear Analysis, forthcoming. (査読有)
- "Ishikawa type mean convergence theorems for finding common fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2, forthcoming. (査読有)
- "Convergence theorems using Ishikawa iteration for finding common fixed points of demiclosed and 2-demiclosed mappings in Hilbert spaces", Advances in Operator Theory, forthcoming. (査読有)
結果発表
１．結果発表の時期
発表済み、および発表が確定した論文あり。他の論文は、今後早い時期に学術雑誌への掲載を目指す。
２．結果発表の方法
査読制の学術雑誌への投稿、掲載。また、（コロナがおさまれば）国際研究集会などで発表する。